第 36 章 · 散点图：两列之间的关系
这一章要解决什么：看出两列之间有没有关系、关系有多强。 本章最重要的不是 API，而是一个思维陷阱：共同趋势造成的假相关 —— 相关不等于因果。
本章你需要完成的代码：demos/ch36-scatter.py
36.1 点太多时的三个必备参数
python
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8.6, 5.2))
ax.scatter(df["soh"], df["resistance_mohm"], s=5, alpha=0.4, linewidths=0)
ax.set_xlabel("SOH")
ax.set_ylabel("内阻 (mΩ)")
ax.set_title("内阻 vs SOH（散点）")结果：
点开：为什么 s / alpha / linewidths 是必备的？
默认参数的后果：
python
ax.scatter(df["soh"], df["resistance_mohm"]) # 全部用默认值问题：
① 默认点大小 s=36 —— 对 1.4 万个点来说太大了，点会互相覆盖
② 完全不透明 —— 重叠的点看不出密度
③ 每个点有白色描边 —— 密起来像一块黑板结果：一片糊成一团的黑色区域，什么也看不出来。
解决方案（三个参数）：
| 参数 | 值 | 作用 |
|---|---|---|
s=5 | 点大小 | 从 36 降到 5，点不再互相覆盖 |
alpha=0.4 | 透明度 | 重叠的点颜色更深 → 能看出密度 |
linewidths=0 | 描边宽度 | 去掉白边，否则密起来像黑板 |
★ alpha 是最关键的一个
为什么：它把"散点图"变成了"密度图"。
alpha=1.0： 100 个点重叠 = 一个点（看不出密度）
alpha=0.05：100 个点重叠 = 深色（立刻知道"这里数据密集"）经验值：
| 数据量 | s | alpha |
|---|---|---|
| < 1000 | 20~30 | 0.6~0.8 |
| 1 千 ~ 1 万 | 10~15 | 0.4~0.6 |
| 1 万 ~ 10 万 | 3~6 | 0.2~0.4 |
| > 10 万 | 1~3 | 0.1~0.2 |
| > 100 万 | 换 hexbin | — |
★ 一个通用的封装
python
def scatter_auto(ax, x, y, **kwargs):
"""按数据量自动选 s 和 alpha。"""
n = len(x)
if n < 1000:
s, alpha = 25, 0.7
elif n < 10000:
s, alpha = 12, 0.5
elif n < 100000:
s, alpha = 5, 0.35
else:
s, alpha = 2, 0.2
ax.scatter(x, y, s=kwargs.pop("s", s), alpha=kwargs.pop("alpha", alpha),
linewidths=0, **kwargs)
return ax这个函数的思路值得学：把"调参经验"固化成代码， 下次不用再想"用 s=5 还是 s=10"。
36.2 用颜色表达第三个变量
python
sc = ax.scatter(df["soh"], df["resistance_mohm"], c=df["cycle"], cmap="viridis",
s=5, alpha=0.5, linewidths=0)
cb = fig.colorbar(sc, ax=ax)
cb.set_label("循环次数 (次)")真实输出：颜色把"循环次数"这条隐藏维度带进了图里 —— 低 SOH 的点同时是高 cycle 的点。
点开：散点图最多能表达几个维度？
一张散点图最多能承载 4 个维度：
| 维度 | 用什么表达 |
|---|---|
| x 轴 | 第一个变量 |
| y 轴 | 第二个变量 |
颜色（c=） | 第三个变量 |
点大小（s=） | 第四个变量 |
还能加第五个吗：用形状（marker=），但通常会很乱（不同形状难以比较）。
★ 常用的 colormap（cmap）
| colormap | 适用 | 特点 |
|---|---|---|
viridis | 连续量（默认推荐） | 感知均匀、色盲友好 |
plasma / inferno / magma | 连续量 | 同上，风格不同 |
coolwarm | 有正负/中心的值 | 蓝-白-红，中心是白色 |
RdBu / bwr | 同上 | 红-蓝 |
jet | ❌ 不推荐 | 感知不均匀（某些色带看起来变化更快） |
★ vmin / vmax 的坑（和第 37 章热力图是同一个问题）
python
# ❌ 不指定范围：颜色范围跟着数据自适应
ax.scatter(x, y, c=values, cmap="coolwarm")
# ✅ 指定范围：不同图之间颜色可比
ax.scatter(x, y, c=values, cmap="coolwarm", vmin=-1, vmax=1)为什么要指定：
图 A 的数据范围 [0, 1] → 颜色条从 0 到 1
图 B 的数据范围 [0, 100] → 颜色条从 0 到 100
两张图上的"深红"含义完全不同！
放在一起对比时，读者会误判。对有明确物理范围的值（相关系数 ±1、概率 0~1、SOH 0.8~1.0）， 一定要写 vmin/vmax。
★ colorbar 的 label 不能省
python
cb.set_label("循环次数 (次)") # ✅ 必须写没有 label 的 colorbar，读者不知道颜色代表什么。
36.3 相关系数：一个数字概括线性关系
python
r1 = df["soh"].corr(df["resistance_mohm"])
r2 = df["soh"].corr(df["capacity_ah"])
r3 = df["soh"].corr(df["temp_rise_c"])真实输出：
text
soh ↔ resistance_mohm : r = -0.9397 强负相关
soh ↔ capacity_ah : r = +0.9981 ← 几乎是同一个量！
soh ↔ temp_rise_c : r = -0.9957 强负相关点开：皮尔逊相关系数的完整含义
公式：
人话版：把 x 和 y 各自标准化，然后求它们"同向变化"的程度。
取值范围和含义：
| r | 含义 |
|---|---|
+1 | 完全正相关（一个涨，另一个必涨，且成比例） |
+0.7 ~ +1 | 强正相关 |
+0.3 ~ +0.7 | 中等正相关 |
-0.3 ~ +0.3 | 弱相关或无线性关系 |
-0.7 ~ -0.3 | 中等负相关 |
-1 ~ -0.7 | 强负相关 |
-1 | 完全负相关 |
⚠ r ≈ 0 不代表"没关系"
它只代表"没有线性关系"：
y
│ ● ●
│ ● ●
│ ● ● ← 完美的 U 形关系
│ ● ●
│ ● ●
└──────────────── x
r ≈ 0（因为前半段是负相关、后半段是正相关，互相抵消）
但 x 和 y 其实是"完全确定"的关系！这是相关系数最大的局限 —— 它只能度量线性关系。
★ r² 的含义：能解释的方差比例
r = 0.94
r² = 0.8836
含义：x 能解释 y 的 88.36% 的波动，剩下 11.64% 是其他因素 + 噪声。为什么用 r²：它比 r 更容易解释（"解释了多少百分比的波动"）。
但要注意：r² 只在线性回归的语境下才有这个解释。随便两个相关变量说"x 解释了 y 的 88%"是不严谨的。
★ 三个必须知道的局限
| 局限 | 说明 | 怎么应对 |
|---|---|---|
| 只度量线性 | U 形关系的 r 可能接近 0 | 一定要看图 |
| 对异常值敏感 | 一个极端点能把 r 从 0.1 拉到 0.9 | 算完 r 去极值再算一遍，看稳不稳 |
| 相关 ≠ 因果 | 详见 36.4 | 用分段相关、控制变量等方法验证 |
第三种是本章的重点。
36.4 ★★ 重头戏：共同趋势 ≠ 因果
这是本章（也是全书）最重要的一个思维训练。
先看现象
python
r_ct = df["cycle"].corr(df["temp_rise_c"])
print(f"r(cycle, temp_rise_c) = {r_ct:+.4f}")text
r(cycle, temp_rise_c) = +0.9312 —— 看起来是「非常强的相关」图：
看左图：点几乎构成一条漂亮的斜线。是不是意味着"循环次数导致温升升高"？
不是。 下面用分段相关拆穿它。
分段相关
python
df["seg"] = pd.cut(df["cycle"], bins=5)
for seg, g in df.groupby("seg", observed=True):
print(f"{str(seg):<22}{len(g):>8,d}{g['cycle'].corr(g['temp_rise_c']):>+10.3f}")真实输出：
text
区间 n 段内 r
(-0.422, 285.4] 3420 +0.793
(285.4, 569.8] 3408 +0.584
(569.8, 854.2] 3420 +0.466
(854.2, 1138.6] 2486 +0.467
(1138.6, 1423.0] 1233 +0.602整体 r = +0.931，但段内 r 只有 0.47 ~ 0.79 —— 明显下降。
点开：为什么会下降？这说明了什么？
原因
分到同一段之后，「循环次数」的变化范围变小了。
整体：cycle 从 1 到 1423（跨度 1422）
段内：cycle 只在 285 的范围内变化（跨度约 285）
→ cycle 的变化"贡献"的相关性变小了
→ 剩下的是"同一循环阶段内，温升的真实差异"而"同一阶段内温升的差异"和 cycle 关系弱得多 —— 所以段内 r 下降。
真正的关系是什么
三者都被同一个东西推着走：
老化（共同的隐藏原因）
│
┌───────┼───────┐
↓ ↓ ↓
cycle↑ SOH↓ 温升↑准确的因果描述是：
不是：cycle → 温升
而是：老化 → cycle 增加
老化 → 温升增加
老化 → SOH 下降
cycle 和温升都是「老化」的结果，所以它们"看起来"高度相关。这就叫「共同趋势（common trend）造成的假相关」。
一句关键的话
相关 ≠ 因果。看到两个变量高度相关时，先问一句"它们是不是都被第三个东西推着走？"
怎么验证"是不是假相关"
方法一：分段相关（本章用的）
如果分段后相关性大幅下降 → 主要是共同趋势
如果分段后相关性依然很强 → 可能是真的直接关系方法二：控制变量
python
# 固定 cycle，只看温度是否还和内阻相关
sample = df[(df["cycle"] > 500) & (df["cycle"] < 520)]
print(f"同循环区间内 r(temp, r_int) = "
f"{sample['temp_rise_c'].corr(sample['resistance_mohm']):+.3f}")如果"固定 cycle 后相关性消失" → 说明两者的关系是 cycle 带来的。
方法三：做实验
把一部分电芯放在不同温度下循环，其他条件完全相同
→ 如果温度高的那组衰减更快，说明"温度 → 衰减"是真实的因果这是唯一能确证因果的方法 —— 因为它排除了所有共同原因。
★ 这个思维在数据工作里极其重要
| 错误的结论 | 正确的说法 |
|---|---|
| "温升导致容量衰减" | "温升与容量衰减高度相关，两者可能都是老化的表现" |
| "内阻高的电芯衰减快" | "内阻与 SOH 负相关（r = -0.94），需实验验证因果关系" |
| "用了这个功能的用户留存更高" | "两者相关，但可能是活跃用户更愿意尝试新功能" |
★ 一个实用的表达模板
"X 与 Y 的相关系数为 r = XXX（n = N）。
需注意：两者都可能受 Z 影响，因此该相关性不能解释为因果关系。
若要确认因果，需要 <分段分析 / 控制变量 / 对照实验>。"这段话写进报告，会立刻显得专业得多。
36.5 三条误读警告
text
① 只看 r 不看图：相关系数只度量「线性」关系
② 不看异常值：一个极端点就能把 r 从 0.1 拉到 0.9
③ 把相关说成因果：上面那段就是活生生的例子警告 ② 的验证：
python
base_r = df["cycle"].corr(df["temp_rise_c"])
trimmed = df[df["temp_rise_c"] < df["temp_rise_c"].quantile(0.99)]
print(f"全部数据 r = {base_r:+.4f}")
print(f"去掉温升前 1% 后 r = {trimmed['cycle'].corr(trimmed['temp_rise_c']):+.4f}")真实输出：
text
全部数据 r = +0.9312
去掉温升前 1% 后 r = +0.9301（变化 0.0011）变化很小 —— 说明这份数据里没有"一个极端点主导相关性"的问题。
点开：但如果变化很大呢？怎么判断"稳健性"
判断规则：
| 去极值前后的变化 | 判断 |
|---|---|
| < 0.05 | 稳健，r 可信 |
| 0.05 ~ 0.15 | 有一定影响，报告里要说明 |
| > 0.15 | 不稳健，必须查原因 |
如果变化很大，可能的原因：
① 数据里真有异常值没清洗 → 先做异常检测（第 32、33 章）。
② 关系本身是"少数极端样本"造成的 → 那这个"相关"没有普遍性。
③ 关系是非线性的 → 极端点反映了曲线的尾部。
★ 一个更系统的稳健性检查
python
def corr_robust(x, y, quantiles=(0.0, 0.01, 0.05, 0.10)):
"""在不同去极值程度下算相关系数，看稳定性。"""
out = []
for q in quantiles:
if q > 0:
lo_x, hi_x = x.quantile(q), x.quantile(1 - q)
lo_y, hi_y = y.quantile(q), y.quantile(1 - q)
mask = x.between(lo_x, hi_x) & y.between(lo_y, hi_y)
r = x[mask].corr(y[mask])
else:
r = x.corr(y)
out.append({"trim": f"{q:.0%}", "n": int(len(x) if q == 0 else mask.sum()),
"r": round(r, 4)})
return pd.DataFrame(out)用法：
python
print(corr_robust(df["cycle"], df["temp_rise_c"]))
# trim n r
# 0% 13967 0.9312
# 1% 13686 0.9301
# 5% 12566 0.9283
# 10% 11174 0.9254r 在 0.925~0.931 之间波动 —— 非常稳健。
如果 10% 裁剪后 r 掉到 0.5，那就说明"这个相关主要是极端值造成的"， 结论要重写。
★ 用 Spearman 作为交叉验证
python
pearson = x.corr(y) # 默认：Pearson（线性）
spearman = x.corr(y, method="spearman") # 秩相关（单调，更稳健）
print(f"Pearson {pearson:.4f} Spearman {spearman:.4f}")Spearman 的适用：
- 关系是单调但非线性的（比如对数关系）；
- 数据有异常值（Spearman 只看排名，不受极值幅度影响）。
两者差异大 → 说明关系非线性或有异常值。
36.6 点实在太多怎么办：hexbin
python
hb = ax.hexbin(df["cycle"], df["temp_rise_c"], gridsize=40, cmap="viridis", mincnt=1)
cb = fig.colorbar(hb, ax=ax)
cb.set_label("该格子内的样本数")结果：颜色越深表示该格子里的样本越多 —— 比散点图更能看清"数据集中在哪里"。
点开：散点图 vs hexbin vs 2D 直方图
三种"表达两个连续变量关系"的方式：
| 方式 | 适合数据量 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|---|
scatter | < 10 万 | 每个点都可见 | 多了就糊 |
hexbin | 10 万 ~ 千万 | 密度清楚、形状规整 | 看不出单个点 |
hist2d | 同上 | 实现简单 | 方格看起来不如六边形自然 |
hexbin 的关键参数：
python
ax.hexbin(x, y,
gridsize=40, # 网格精度：越大格子越小（默认 100）
cmap="viridis", # 颜色映射
mincnt=1, # 只显示样本数 ≥ 1 的格子（否则空格子也是颜色）
bins="log") # ★ 数量跨度大时用对数色标★ bins="log" 很重要
为什么：样本数的分布通常极不均匀。
大部分格子：1~10 个点
少数格子：1000+ 个点
如果用线性色标：1000 的格子颜色饱和，1~10 的格子全是"最浅色"——看不出区别
用对数色标：1, 10, 100, 1000 每级都有明显区分★ 检查数据量决定用哪个
python
n = len(df)
if n < 50_000:
ax.scatter(x, y, s=5, alpha=0.4, linewidths=0)
elif n < 5_000_000:
ax.hexbin(x, y, gridsize=50, cmap="viridis", mincnt=1)
else:
# 上千万：先抽样画散点，或者用 datashader
idx = np.random.default_rng(42).choice(n, 100_000, replace=False)
ax.scatter(x.iloc[idx], y.iloc[idx], s=1, alpha=0.2, linewidths=0)抽样画散点的思路：数据量太大时，随机抽 10 万个点画出形状就够了 —— 密度信息会失真，但整体趋势能看清。
★ 一个组合用法：散点 + 分位线
python
# 用 hexbin 看密度，再叠加"每个 x 区间的 y 中位数"曲线
bins = np.linspace(df["cycle"].min(), df["cycle"].max(), 30)
df["_bin"] = pd.cut(df["cycle"], bins=bins)
median_line = df.groupby("_bin", observed=True)["temp_rise_c"].median()
centers = [interval.mid for interval in median_line.index]
ax.plot(centers, median_line.to_numpy(), color="crimson", lw=2, label="各区间中位数")
ax.legend()这样既看得到"密度分布"，也看得到"趋势线" —— 汇报时非常有说服力。
36.7 完整示例与输出
bash
cd code
python demos/ch36-scatter.py真实输出（节选）：
text
=== ④ 相关系数：一个数字概括线性关系 ===
soh ↔ resistance_mohm : r = -0.9397 强负相关
soh ↔ capacity_ah : r = +0.9981 ← 几乎是同一个量！
soh ↔ temp_rise_c : r = -0.9957 强负相关
=== ⑤ ★ 重头戏：共同趋势 ≠ 因果 ===
r(cycle, temp_rise_c) = +0.9312 —— 看起来是「非常强的相关」
分段后的段内相关系数：
区间 n 段内 r
(-0.422, 285.4] 3420 +0.793
(285.4, 569.8] 3408 +0.584
(569.8, 854.2] 3420 +0.466
(854.2, 1138.6] 2486 +0.467
(1138.6, 1423.0] 1233 +0.602
读表：整体 r = +0.931，但每一段内部的 r 只有 0.47 ~ 0.79，明显下降。
★ 所以：相关 ≠ 因果。
=== ⑦ 三条误读警告 ===
全部数据 r = +0.9312
去掉温升前 1% 后 r = +0.9301（变化 0.0011）本章练习
练习 1：画散点图并回答相关系数
- 画
cyclevstemp_rise_c散点图，颜色用soh（cmap="coolwarm"+ colorbar）； - 标题里写上相关系数 r；
- 把 cycle 分成 5 段，分别算段内 r；
- 解释"为什么整体 r 那么高、段内却低得多"。
参考答案
python
import os
import sys
from pathlib import Path
import pandas as pd
CODE_DIR = Path(__file__).resolve().parent.parent.parent
sys.path.insert(0, str(CODE_DIR))
os.environ.setdefault("MPLCONFIGDIR", str(CODE_DIR / ".mplconfig"))
import matplotlib.pyplot as plt # noqa: E402
from common.plots import setup_style, save_fig # noqa: E402
OUT = CODE_DIR / "outputs"
setup_style()
df = pd.read_csv(CODE_DIR / "data" / "battery" / "cycle_raw.csv")
# ① 相关系数
r = df["cycle"].corr(df["temp_rise_c"])
print(f"r = {r:+.3f}") # +0.931
# ② 散点图
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8.6, 5.2))
sc = ax.scatter(df["cycle"], df["temp_rise_c"], c=df["soh"], cmap="coolwarm",
s=5, alpha=0.4, linewidths=0)
cb = fig.colorbar(sc, ax=ax)
cb.set_label("SOH")
ax.set_xlabel("循环次数 (次)")
ax.set_ylabel("温升 (℃)")
ax.set_title(f"循环次数 vs 温升（r = {r:.3f}）")
save_fig(fig, str(OUT / "ch36_exercise.png"))
# ③ 分段相关
df["seg"] = pd.cut(df["cycle"], bins=5)
for seg, g in df.groupby("seg", observed=True):
print(f"{str(seg):<22}{len(g):>7,d}{g['cycle'].corr(g['temp_rise_c']):>+10.3f}")真实输出：
text
r = +0.931
(-0.422, 285.4] 3420 +0.793
(285.4, 569.8] 3408 +0.584
(569.8, 854.2] 3420 +0.466
(854.2, 1138.6] 2486 +0.467
(1138.6, 1423.0] 1233 +0.602④ 为什么整体高、段内低：
因为分到同一段之后，「循环次数」的变化范围变小了。
整体：cycle 从 1 到 1423（跨度 1422）
段内：cycle 只在约 285 的范围内变化
→ cycle 对相关性的"贡献"消失了
→ 剩下的是"同一循环阶段内温升的真实差异"而"同一阶段内温升的差异"和 cycle 关系弱得多 —— 所以段内 r 下降。
★ 正确的因果描述
不是：cycle → 温升
而是：老化 → cycle 增加
老化 → 温升增加
cycle 和温升都是「老化」的结果，所以看起来高度相关。
这叫「共同趋势造成的假相关」。★ 报告里该怎么写
"循环次数与温升的相关系数为 r = +0.931（n = 13,967）。 但分段分析显示，在 5 个循环区间内，段内相关系数仅为 0.47~0.79。 这提示两者的高相关主要来自共同的老化趋势， 而非直接的因果关系。若要确认因果，需通过控制变量实验验证。"
这段话的三个要素：① 给出数字；② 给出反证；③ 说明下一步该怎么做。
练习 2：怎么判断"相关系数是否被异常值主导"？
python
r_all = x.corr(y)
r_trim = x[x.between(x.quantile(0.01), x.quantile(0.99))].corr(
y[x.between(x.quantile(0.01), x.quantile(0.99))])
print(r_all, r_trim)要求：说明"两个数字差多少算正常"、"差异大说明什么"、"该怎么办"。
参考答案
判断标准：
| 差异 | 判断 | 处理 |
|---|---|---|
| < 0.05 | 稳健，r 可信 | 正常报告 |
| 0.05 ~ 0.15 | 有一定影响 | 报告里说明"去极值后 r 变为 XXX" |
| > 0.15 | 不稳健 | 必须查原因，不能直接下结论 |
本数据的实测（cycle vs temp_rise_c）：
python
print(corr_robust(df["cycle"], df["temp_rise_c"]))
# trim n r
# 0% 13967 0.9312
# 1% 13686 0.9301
# 5% 12566 0.9283
# 10% 11174 0.9254r 在 0.925~0.931 之间 —— 变化只有 0.006，非常稳健。
★ 如果差异很大，三种可能的原因
① 数据里有未清洗的异常值。
python
# 先做异常检测（第 32、33 章）
from scipy import stats
z = np.abs(stats.zscore(df["resistance_mohm"]))
print(f"|z|>3 的记录：{(z > 3).sum()}")② 关系本身是"少数极端样本"造成的。
python
# 去掉极端样本后关系消失 → 那这个"相关"没有普遍性
# 报告里必须说明："该相关性主要由 X 个极端样本驱动"③ 关系是非线性的。
python
# 用 Spearman 交叉验证
print(f"Pearson {x.corr(y):.4f}") # 线性
print(f"Spearman {x.corr(y, method='spearman'):.4f}") # 单调
# 如果 Spearman 明显更高 → 关系是"单调但非线性"★ 一个通用的稳健性检查函数
python
def corr_robust(x, y, quantiles=(0.0, 0.01, 0.05, 0.10)):
"""在不同去极值程度下算相关系数，看稳定性。"""
rows = []
for q in quantiles:
if q == 0:
mask = pd.Series(True, index=x.index)
else:
lo_x, hi_x = x.quantile(q), x.quantile(1 - q)
lo_y, hi_y = y.quantile(q), y.quantile(1 - q)
mask = x.between(lo_x, hi_x) & y.between(lo_y, hi_y)
rows.append({
"trim": f"{q:.0%}",
"n": int(mask.sum()),
"pearson": round(x[mask].corr(y[mask]), 4),
"spearman": round(x[mask].corr(y[mask], method="spearman"), 4),
})
return pd.DataFrame(rows)这个函数一次给出四个口径的 r（含 Spearman） —— 如果四个数字都接近，就可以放心下结论。
练习 3：点太多时该画什么图？
python
n = len(df)要求：针对 n = 500、n = 5 万、n = 500 万 三种情况， 分别选择画图方式并说明理由。
参考答案
| 数据量 | 方式 | 参数 |
|---|---|---|
| 500 | scatter | s=25, alpha=0.7, linewidths=0 |
| 5 万 | scatter（密）或 hexbin | s=5, alpha=0.35 或 hexbin(gridsize=40, mincnt=1) |
| 500 万 | hexbin（或先抽样） | hexbin(gridsize=60, bins="log", mincnt=1) |
代码：
python
def plot_relationship(ax, x, y, name_x="x", name_y="y"):
"""按数据量自动选择画法。"""
n = len(x)
if n < 2000:
ax.scatter(x, y, s=25, alpha=0.7, linewidths=0)
ax.set_title(f"{name_x} vs {name_y}（n={n:,}，散点）")
elif n < 200_000:
ax.scatter(x, y, s=5, alpha=0.35, linewidths=0)
ax.set_title(f"{name_x} vs {name_y}（n={n:,}，散点）")
else:
hb = ax.hexbin(x, y, gridsize=60, cmap="viridis", mincnt=1, bins="log")
ax.figure.colorbar(hb, ax=ax, label="样本数（对数）")
ax.set_title(f"{name_x} vs {name_y}（n={n:,}，hexbin）")
ax.set_xlabel(name_x)
ax.set_ylabel(name_y)
return ax★ 三种方式的取舍
| 方式 | 保留什么信息 | 丢掉什么 |
|---|---|---|
scatter | 每个点的位置 | （数据多时）密度信息 |
hexbin | 密度分布 | 单个点的位置 |
抽样 + scatter | 整体形状 | 精确密度 |
★ 500 万点为什么要用 bins="log"
样本数分布极度不均：
大部分格子：1~10 个点
中心区域：10 万+ 个点
线性色标：10 万 的格子饱和成最深色，1~10 的格子全是"最浅色"
→ 看不出中间的层次
对数色标：1, 10, 100, 1000, 10000 每级都有区分
→ 密度层次清楚★ 一个额外的技巧：抽样
python
# 500 万点 → 随机抽 10 万画散点（形状依然清楚）
idx = np.random.default_rng(42).choice(len(df), 100_000, replace=False)
ax.scatter(x.iloc[idx], y.iloc[idx], s=1, alpha=0.2, linewidths=0)为什么要固定种子：让每次画出来的图一样 —— 否则汇报时两次打开的图不同，会让人困惑。
★ 最后一条：图的选择取决于"你想让读者看到什么"
想让读者看"有没有关系" → hexbin（看整体趋势）
想让读者看"某个具体的点" → scatter + 标注
想让读者看"密度分布" → hexbin + log 色标
想让读者看"分组的差异" → 分组着色 scatter面向 AI 开发：相关性是"特征筛选"的第一道筛子
在 AI 项目里，相关系数有两个核心用途：找有用特征、找冗余特征。
① 找"和标签相关的特征"
python
# 计算每个特征与标签的相关系数，按绝对值排序
FEATURES = ["cycle", "capacity_ah", "resistance_mohm", "temp_rise_c", "coulombic_eff"]
TARGET = "soh"
corr_with_target = (df[FEATURES].corrwith(df[TARGET])
.sort_values(key=abs, ascending=False))
print(corr_with_target.round(4))
# capacity_ah 0.9981 ← 但这是泄漏！
# temp_rise_c -0.9957
# coulombic_eff 0.9849
# resistance_mohm -0.9397
# cycle -0.9347★ 但排第一的那个恰恰不能用 —— capacity_ah 是泄漏（第 37 章详讲）。
反直觉但重要的认知：
"相关性最高"不等于"最该用"。 有些高相关的特征恰恰是要剔除的。
② 找"互相冗余的特征"
python
corr_matrix = df[FEATURES].corr()
# 找出 |r| > 0.95 的特征对
import numpy as np
tri = np.triu(np.ones(corr_matrix.shape), k=1).astype(bool)
pairs = corr_matrix.where(tri).stack()
high = pairs[pairs.abs() > 0.95].sort_values(key=abs, ascending=False)
print(high)真实输出（第 37 章会详细讲）：
text
capacity_ah ↔ soh 0.998
soh ↔ temp_rise_c -0.996
capacity_ah ↔ temp_rise_c -0.994
soh ↔ coulombic_eff 0.985
...高度相关的特征只留一个 —— 这叫多重共线性处理。
★ 一个"特征筛选"的完整流程
① 和标签的 |r| > 0.95 → 高度可疑，检查是不是泄漏（第 37 章）
② 特征之间的 |r| > 0.95 → 冗余，只留一个
③ 和标签的 |r| < 0.05 → 可能无用（但注意非线性关系！）
④ 剩下的特征 → 进入建模★ 但相关性的作用有边界
| 情况 | 相关系数有用吗 |
|---|---|
| 线性关系 | ✅ 很有用 |
| 单调非线性关系 | ⚠️ 用 Spearman |
| U 形 / 周期关系 | ❌ 没用（r 可能接近 0，但关系很强） |
| 类别特征 | ❌ 不能用（要用互信息、方差分析） |
| 交互效应（A×B 才有用） | ❌ 单看 A、B 都不相关 |
最后一条特别值得注意：
python
# 单看 A 和 B 都不相关
print(df["A"].corr(y)) # 0.02
print(df["B"].corr(y)) # 0.01
# 但 A×B 高度相关！
df["AB"] = df["A"] * df["B"]
print(df["AB"].corr(y)) # 0.85 ！！这就是为什么"只看相关系数筛特征"不够 —— 它漏掉了交互效应。而树模型能自动捕捉这类关系（这是它们的一大优势）。
★ 一个更全面的特征评估
python
from sklearn.feature_selection import mutual_info_regression
# 互信息：能捕捉非线性关系
mi = mutual_info_regression(df[FEATURES], df[TARGET], random_state=42)
mi_series = pd.Series(mi, index=FEATURES).sort_values(ascending=False)
# 和相关系数对比
comparison = pd.DataFrame({
"pearson": df[FEATURES].corrwith(df[TARGET]).abs(),
"mutual_info": mi_series,
}).sort_values("mutual_info", ascending=False)
print(comparison.round(4))互信息和 Pearson 的差异：
- 两者都高 → 线性关系，特征有用；
- 互信息高但 Pearson 低 → 非线性关系（Pearson 漏掉了）；
- 两者都低 → 特征可能真的无用。
★ 一条纪律
相关系数是"快速筛子"，不是"最终标准"。 用它快速排除明显无关的特征， 但不要因为有"某个特征相关性高"就跳过"物理含义检查"（第 37 章会讲为什么）。