第 07 章 · 预测与可视化：一条直线能回答"什么时候退役"吗
这一章要解决什么：把直线用起来 —— 正向预测、反向反解、画在图上。 然后回答一个业务上真正被问到的问题："我这支设备什么时候退役？"
最容易踩的坑： ① 把"横截面回归"的预测当成某一支设备的寿命 —— 全表拟合出来的退役点 1347 圈，而 60 支设备实际有 80% 在它之前就停止记录了； ② 外推区（
cycle > 1440）的预测写法和内插区一模一样，从数字上看不出区别； ③ 画图时不设中文字体，图上全是方框（这不是"美观问题"，是"读不懂"）。
本章你需要完成的代码：demos/ch07-predict-and-line.py
7.1 predict() 的基本用法
fit 之后，predict 是唯一还需要学的动作：
python
model = LinearRegression().fit(df[["cycle"]], df["soh"])
grid = pd.DataFrame({"cycle": np.linspace(0, 1600, 7)}) # 一张表，不是一维数组
y_grid = model.predict(grid)真实输出：
text
模型：soh ≈ -0.00014620 × cycle + 0.996891 （整表 R² = 0.834759）
喂一张 DataFrame（列名和训练时一致，形状 (7, 1)）：
cycle = 0 → 预测 soh = 0.9969 ← 外推，无数据支持
cycle = 267 → 预测 soh = 0.9579
cycle = 533 → 预测 soh = 0.9189
cycle = 800 → 预测 soh = 0.8799
cycle = 1067 → 预测 soh = 0.8409
cycle = 1333 → 预测 soh = 0.8020
cycle = 1600 → 预测 soh = 0.7630 ← 外推，无数据支持
★ 数据范围是 50 ~ 1440；0 圈和 1600 圈都是模型自己「编」出来的。★ 三个必须记住的写法细节：
| 写法 | 结果 |
|---|---|
model.predict(grid)（DataFrame） | ✅ 无警告，列名对齐 |
model.predict(grid["cycle"])（Series） | ❌ 报错：不是二维 |
model.predict(np.array([[500.0]])) | ⚠️ 能跑，但丢列名（第 04 章 4.6） |
为什么坚持用 DataFrame（第 04 章已经说过，这里是它的第一次实际使用）：
python
# 特征多的时候，DataFrame 按【名字】对齐，不按位置
model.predict(pd.DataFrame({"resistance_mohm": [50.0], "cycle": [500.0]}))
# 顺序反了也没关系 —— 名字对上了就对★ predict 的输出形状和 y 一样：
python
y.shape # (21239,)
model.predict(X).shape # (21239,) ← 一个样本一个预测值
grid.shape # (7, 1)
model.predict(grid).shape # (7,) ← 7 个样本 7 个预测值这个对应关系是"一行进去、一个数出来"，不会多也不会少。
7.2 外推：模型不会说"我不知道"
看上面输出里的两行：
text
cycle = 0 → 预测 soh = 0.9969 ← 外推
cycle = 1600 → 预测 soh = 0.7630 ← 外推为什么说它们"没有数据支持"：
数据范围：cycle ∈ [50, 1440]
↓
0 圈 ← 在范围左边
1600 圈 ← 在范围右边
↓
这两处的预测值，是把直线【延长】出去算的★ 直线上没有任何标记能告诉你"这里开始不可信"：
python
model.predict(pd.DataFrame({"cycle": [1400]})) # 0.7922 ← 有数据
model.predict(pd.DataFrame({"cycle": [1600]})) # 0.7630 ← 外推
# 两次调用的写法、输出形式、数字精度，完全相同这是第 03 章那句话的第二次出现：
外推的结果看起来和正常预测一模一样。
所以"标注外推"这件事必须你自己做：
python
lo, hi = df["cycle"].min(), df["cycle"].max()
for c, p in zip(grid["cycle"], model.predict(grid)):
tag = "" if lo <= c <= hi else " ← 外推，无数据支持"
print(f" cycle = {c:6.0f} → 预测 soh = {p:.4f}{tag}")★ 这一段在真实项目里最常见的翻车方式
"模型预测设备在第 1600 圈时健康度 0.763"
↓
"所以我们把维护窗口定在 1500 圈吧"
↓
但 1500 圈处【一个样本都没有】
↓
这个规划建立在一段"数学上合法、数据上为零"的区域上点开：外推的三种危险程度（不是所有外推都一样糟）
同样是"超出训练范围"，危险程度差很多。分三档看：
第一档：范围外的近邻（危险低）
训练范围 [50, 1440]，预测 cycle = 1450
↓
只超出 0.7%
↓
如果直线形状差不多，风险不大 —— 但要知道你在赌"形状不变"第二档：远离数据的延长（危险高）
预测 cycle = 3000（超出 108%）
↓
直线继续往下走 → soh = 0.5583（第 03 章练习 2 算过）
↓
"容量只剩 56%" —— 数学合法，物理荒谬第三档：跨过了机制改变的边界（最危险）
设备在 0.80 附近就停止采样（退役线）
↓
所以你预测 3000 圈时，其实是在假设"0.80 以下的退化规律和上面一样"
↓
但这个假设【没有任何数据可以检验】★ 三档的共同问题：
模型不会区分这三档
↓
它在 1450、3000、3000 万 处都给你一个确定的数字★ 一个可以放进代码的判据
python
def extrapolation_level(x, lo, hi):
if lo <= x <= hi:
return "内插（有数据）"
gap = (lo - x) if x < lo else (x - hi)
return f"外推 {100 * gap / (hi - lo):.0f}%（无数据支持）"
print(extrapolation_level(3000, 50, 1440)) # 外推 108%（无数据支持）★ 为什么第 24~25 章要专门讲高斯过程
线性回归的外推：给一个数，不告诉你"这里很虚"
高斯过程的外推：置信带自己张开
cycle = 1440（数据边界）→ ±0.0101
cycle = 1500（外推区） → ±0.1094 ← 涨了 11 倍一个诚实的模型应该能说"这里我没见过，我不敢下结论"。
线性回归不会说这句话。所以这句话得由你（用代码和标注）来说。
7.3 ★ 横截面回归：它到底在拟合什么？
先把名字说清楚：
横截面（cross-sectional）回归：
把表里【所有行】放在一起，拟合【一条】直线
↓
本书的做法：21,239 行 → 1 条线 → 2 个参数（coef_、intercept_）
个体（per-unit / per-entity）回归：
对每一支设备【各拟合一条】直线
↓
60 支设备 → 60 条线 → 120 个参数★ 关键问题：那条池化直线，究竟在描述什么？
真实输出：
text
取 cycle ∈ [990, 1010] 的所有行（305 行，来自 39 支设备）：
这些行的 soh：min 0.8094 / 中位 0.8550 / max 0.8887
标准差 = 0.0205，极差 = 0.0793
池化直线在 cycle=1000 给出的唯一答案 = 0.8507
★ 直线只会说「大约 0.85」；真实的那 39 支设备分布在 0.809 ~ 0.889 之间。把这一段读三遍，它是这一章的核心：
在 cycle ≈ 1000 这个"时刻"，同时存在 39 支设备
↓
它们的 soh 从 0.8094 到 0.8887 —— 相差 7.9 个百分点
↓
池化直线给出的答案：0.8507
↓
0.8507 大致等于"这 39 支的中位数（0.8550）附近"
↓
【它是一条"平均值曲线"，不是一个"个体轨迹"】★ 换一个说法，这件事就非常清楚了：
池化直线：
对每个 cycle，回答"所有设备在那个时刻的平均健康度是多少"
↓
个体轨迹：
对每支设备，回答"它在自己的时间里怎么掉下去"这是两个不同的问题。
★ 一个时间轴上的类比（很贴切）
横截面回归 ≈ "把 60 个人的身高体重混在一起，拟合一条身高→体重的线"
↓
它回答："身高 170cm 的人，平均体重是多少"
↓
它不回答："张三减重 5 公斤后是多少"
个体回归 ≈ "对每个人各拟合一条"
↓
它才可能回答后者⚠️ 但要注意：本书的数据里，"个体"和"时间"是一一对应的 （每支设备都有自己的时间刻度），所以这个类比要再补一句：
本书的数据：
一行 = (设备, 窗口)
↓
池化 = "在 cycle = 1000 时，所有设备平均 0.8507"
个体 = "C001 在它自己的 cycle = 800 时是 0.8183"
↓
两者用的是同一个横轴（cycle），含义完全不同7.4 每支设备各自拟合：直线的"形式"错了吗？
做对照实验：对 60 支设备各拟合一条直线。
真实输出：
text
每支设备各自拟合一条直线（60 条），其中 60 条斜率是负的，有确定的反解点：
各自反解的 EOL：min 816 / 中位 1223 / max 1570 圈
斜率本身分布：min -0.00025305 / 中位 -0.00016977 / max -0.00013263
这 60 条各自的 R²：min 0.9789 / 中位 0.9967 / max 0.9990
★ 60 支的斜率全是负的：直线的【形式】没问题，问题出在把它们【合并成一条】。★ 这一节最重要的发现：
每支设备【自己】的直线，R² 中位数是 0.9967
↓
对单支设备来说，"退化是线性的"这个假设【非常好】
↓
所以池化直线的 0.8348 不是因为"直线这种形式不行"
↓
而是因为"60 条斜率不同的线，被强行平均成了一条"把斜率分布摆出来看：
| 统计量 | 值 | 含义 |
|---|---|---|
| 最陡的（min） | -0.00025305 | 每 100 圈掉 2.53 个百分点 |
| 中位 | -0.00016977 | 每 100 圈掉 1.70 个百分点 |
| 最平的（max） | -0.00013263 | 每 100 圈掉 1.33 个百分点 |
最陡 / 最平 = 0.00025305 / 0.00013263 = 1.91 倍
↓
同样的圈数，一支设备掉 1.91 倍的量
↓
池化直线的斜率 -0.00014620 落在【偏平的那一侧】
（比中位数 -0.00016977 还平）⚠️ 注意最后一句话：池化直线的斜率不等于个体斜率的中位数。 因为池化是"最小化全体平方误差"，它会被数量多、方差大的那段数据拉走。
数据里 60 支设备的行数不一样（235 ~ 464 行）
↓
行数多的设备，在池化拟合里的"话语权"更大
↓
池化直线偏向它们★ 这是"聚合"的普遍规律：
把个体合并成一个模型时，你得到的不是"平均的个体"， 而是"误差平方和最小的那个折中"。
★ 那为什么还要用池化回归？
"平均趋势"本身是有用的：
· 做整体产能/维护预算 → 需要的就是平均
· 做异常检测 → 偏离平均线的个体才值得看
· 做第一版基线 → 它最便宜
它不能做的：
· 回答"某一支还有多久"
· 区分"哪支快、哪支慢"（它把差异全抹平了）7.5 反解退役点：1347 圈
这是这一章的业务落点。
python
x_eol = (0.80 - model.intercept_) / model.coef_[0] # 1347真实输出：
text
池化直线（把 21,239 行当成一个整体）说：
soh 降到 0.8 需要 1347 圈
每支设备的末次记录 cycle：
min 752 / 中位 1117 / max 1440
池化直线反解的 1347 圈落在第 80 百分位
末次记录 < 1347 的设备：48 / 60 支（80%）
中位设备差了 230 圈 —— 相当于 21% 的寿命
★ 「平均退役点」比一半以上设备的实际退役点晚。★ 这 6 行数字，就是这一章的全部结论：
| 数字 | 来源 | 含义 |
|---|---|---|
| 1347 圈 | 池化的直线反解 | "平均退役点" |
| 1117 圈 | 60 支设备末次记录的中位数 | "典型设备的实际退役点" |
| 752 ~ 1440 圈 | 60 支末次记录的极值 | "个体差异的真实范围" |
| 第 80 百分位 | 1347 在末次记录分布里的位置 | "1347 偏晚" |
| 80% | 末次记录 < 1347 的比例 | "多数设备等不到它" |
| 230 圈 / 21% | 1347 − 1117，除以 1117 | "偏晚的幅度" |
★ 用一句话说清这个差距：
把池化直线的答案（1347 圈）当成"每支设备的退役时间"， 对 80% 的设备来说都会说晚 —— 中位的那一支要晚 230 圈，约等于它寿命的 21%。
现在把"说晚了多少"逐支量化：
真实输出：
text
把池化直线的答案（1347 圈）拿去回答 60 支设备各自的问题：
绝对误差：中位 230 圈 / 最大 595 圈
说晚了（危险）：48 支，最多晚 595 圈
说早了（保守）：12 支，最多早 93 圈
C032：直线说 1347 圈，它实际在 752 圈就掉到 0.8146 了 → 说晚了 595 圈
C031：直线说 1347 圈，它实际在 756 圈就掉到 0.8126 了 → 说晚了 591 圈
C016：直线说 1347 圈，它实际撑到 1440 圈 → 说早了 93 圈
★ 最大的那次「说晚了」595 圈 ≈ 中位寿命 (1117 圈) 的 53%。★ 误差是"不对称"的，这比误差大更糟：
说晚了：48 支（80%）—— 会漏掉维护窗口
说早了：12 支（20%）—— 只是保守，代价是提前换了还能用的设备
↓
"不对称"意味着：这个错误会【系统性地】往危险的方向偏★ 一个必须说清的因果关系
不是"直线算错了"
↓
而是"直线回答的不是这个问题"
↓
C032 在 752 圈掉到 0.8146 —— 直线从来没有为 C032 拟合过
它拟合的是"所有设备在各自圈数上的平均水平"★ 这三个数字并排放在一起，就是这个错误的全貌：
text
池化直线说： 1347 圈 ← 一个数，语气确定
各支设备的实际值： 752 ~ 1440 ← 一个分布，宽度 688 圈
中位设备： 1117 圈
↓
用"一个数"去回答"一个分布"里的每一个成员
↓
"1347" 这个答案的有效范围，只覆盖了这个分布的一小部分7.6 画图：把这两件事画在同一张图上
真实输出：
text
=== ⑥ 画图 ===
[plots] 图已保存: .../outputs/ch07-pooled-line.png
[plots] 图已保存: .../outputs/ch07-eol-distribution.png
[plots] 图已保存: .../outputs/ch07-individual-vs-pooled.png图 1：全部数据 + 池化直线 + 退役线
这张图要说的话：
① 散点（浅蓝，透明度 0.05）：21,239 行 —— 它们形成一条【带】，不是一个点集
② 红线：池化直线 —— 它穿过这条带的中间
③ 绿色虚线：退役线 soh = 0.80
④ 红色点线：1347 圈 —— 红线与绿虚线的交点★ 看图要看的不是红线，是散点的"宽度"：
如果退化是"所有设备一模一样"
→ 散点会紧贴红线，形成一条细线
↓
实际：散点在每个 cycle 上都摊开成一片
↓
那一片的宽度，就是"池化直线解释不了的部分"
↓
它也正是"横截面回答不了个体问题"的根本原因图 2：60 支设备实际停在哪里 vs 直线说它们该停在哪里
这张图是这一章最有说服力的一张：
橙色竖线：中位末次记录 1117 圈
红色点线：池化直线说的 1347 圈
↓
两个竖线之间隔着 230 圈
↓
而且 1347 落在了直方图的【右侧】，大部分柱子在它左边★ 一句话读法：
"60 支设备实际停在哪里"是数据直接告诉你的； "1347 圈"是模型告诉你的。这两件事长得不一样。
图 3：个体轨迹 vs 池化直线
图中：
4 组彩色散点 + 4 条同色的细线：这 4 支设备各自的轨迹和各自的直线
黑色粗线：池化直线（全体共用）
绿色虚线：退役线 0.80★ 这张图直接展示了"平均"的代价：
C001 / C032 / C031：自己的线比池化线【陡得多】，在 820~880 圈就穿过了 0.80
C016：自己的线比池化线【平得多】，一直撑到 1440 圈
↓
池化黑线走在这两组之间
↓
结果：对前三支说晚了，对 C016 说早了★ 一个画图上的选择值得说明：
横轴画到 0 ~ 1600（超出数据范围 50~1440）
↓
为的是让读者看见"直线的延续"
↓
但同时必须【标注数据范围】，否则图本身就在鼓励外推这就是"图上也要加限定词"。
点开：画这三张图的代码要点（中文、save_fig、透明度）
① 中文与负号：必须调，否则图上是方框
python
import os, sys
sys.path.insert(0, CODE)
os.environ.setdefault("MPLCONFIGDIR", os.path.join(CODE, ".mplconfig"))
import matplotlib.pyplot as plt
from common.plots import PALETTE, save_fig, setup_style
font = setup_style() # ← 设中文字体 + axes.unicode_minus = False
print(f"中文字体：{font}") # 本机实际用到的字体名为什么必须在一开始就调：
matplotlib 默认字体不含中文 → 每个汉字变成一个方框
↓
图上读不出"健康度"、"循环次数"
↓
这张图就没法用了（不是"不好看"，是"没有信息"）setup_style() 里做的三件关键事：
python
plt.rcParams["font.sans-serif"] = [font] + ["DejaVu Sans"]
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False # ← 负号也常变方框
plt.rcParams["axes.prop_cycle"] = plt.cycler(color=PALETTE)② save_fig：一行搞定"存图 + 建目录 + 打印路径"
python
save_fig(fig, os.path.join(OUT, "ch07-pooled-line.png"))
# [plots] 图已保存: .../outputs/ch07-pooled-line.png它比 plt.savefig 多做了三件事：
① os.makedirs(..., exist_ok=True) → 目录不存在也不会崩
② fig.tight_layout() → 中文标题不会被裁掉
③ plt.close(fig) → 循环画多张图时不会内存泄漏★ 第 ③ 条在"批量出图"时会要命：不 close 的话， 画 100 张图之后 matplotlib 会警告 More than 20 figures have been opened。
③ 21,239 个散点：必须调透明度
python
ax.scatter(df["cycle"], df["soh"], s=2, alpha=0.05, color=PALETTE[0])alpha=1.0（默认）→ 一片实心色块，看不出密度分布
s=2 + alpha=0.05 → 密集处颜色深、稀疏处颜色浅
↓
"数据在哪里厚、在哪里薄"这件事才看得出来
↓
而它正是"这条直线可信不可信"的视觉依据④ 一条经验：图的标题就是结论
❌ ax.set_title("cycle vs soh")
✅ ax.set_title("一条池化直线：它描述「平均」，不描述任何一支")
↓
读者看图 3 秒能拿到信息，不用先自己推本书所有图的标题都写"结论"，不写"变量名"。 这也是第 02 章"把分数变成证据"的一个具体做法。
7.7 常见坑
text
① predict 传一维数组 → ValueError（第 04 章的坑，这里会真的踩到）
② 外推不标注 → 1600 圈的预测和内插的写法完全一样
③ 把 1347 当成"每支设备的寿命" → 80% 的设备在它之前就退役了
④ 只用一条池化直线解释个体 → 单支 R² 中位 0.9967，池化只有 0.8348，差异全在"个体"上
⑤ 图上的中文是方框 → 没调 setup_style()
⑥ 散点不设 alpha → 21,239 个点糊成一团，看不出分布
⑦ 横轴画到 1600 却不标注范围 → 图本身在鼓励外推★ ③ 是这一章的"看起来对但其实错"：
"1347 圈"这个数字：
· 有公式支持（(0.8-b)/k）
· 有数据支持（落在训练范围内）
· 有 R² 背书（0.8348）
↓
它唯一的问题是：它回答的不是你问的那个问题★ 这类错误的共同特征：
数字算对了 + 方法命名对了 + 问题问错了
↓
没有任何技术检查能发现它
↓
只有"把数字和原始分布放在一起看"才能发现7.8 完整示例与输出
bash
cd code
MPLCONFIGDIR=/tmp/ex03-work/.mplconfig python demos/ch07-predict-and-line.py真实输出（节选）：
text
=== ① predict() 的基本用法 ===
cycle = 0 → 预测 soh = 0.9969 ← 外推，无数据支持
cycle = 800 → 预测 soh = 0.8799
cycle = 1600 → 预测 soh = 0.7630 ← 外推，无数据支持
=== ② 横截面回归 vs 个体：同一张图里的两件事 ===
各自反解的 EOL：min 816 / 中位 1223 / max 1570 圈
这 60 条各自的 R²：min 0.9789 / 中位 0.9967 / max 0.9990
=== ③ 末次记录分布：一个不该被丢掉的真相 ===
min 752 / 中位 1117 / max 1440
末次记录 < 1347 的设备：48 / 60 支（80%）
=== ④ 在同一个 cycle 上，个体差异有多大 ===
这些行的 soh：min 0.8094 / 中位 0.8550 / max 0.8887
标准差 = 0.0205，极差 = 0.0793
=== ⑤ 一个具体的问题：「我这支还有多久」 ===
绝对误差：中位 230 圈 / 最大 595 圈
说晚了（危险）：48 支，最多晚 595 圈本章练习
练习 1：predict 一张网格，并找出"平均"的代价
- 用
cycle = [100, 300, 500, 700, 900, 1100, 1300, 1500]造一张 DataFrame，打印每个预测值； - 标出哪些是外推（训练数据范围是 50 ~ 1440）；
- 取
C001在cycle = 800的真实soh，和池化直线的预测值比较，说明差距来自哪里。
参考答案
python
import pandas as pd
from sklearn.linear_model import LinearRegression
df = pd.read_csv("data/battery/soh_features.csv")
y = df["soh"]
model = LinearRegression().fit(df[["cycle"]], y)
k, b = float(model.coef_[0]), float(model.intercept_)
grid = pd.DataFrame({"cycle": [100.0, 300.0, 500.0, 700.0, 900.0, 1100.0, 1300.0, 1500.0]})
lo, hi = float(df["cycle"].min()), float(df["cycle"].max())
for c, p in zip(grid["cycle"], model.predict(grid)):
tag = "" if lo <= c <= hi else " ← 外推，无数据支持"
print(f"cycle = {c:6.0f} → 预测 soh = {p:.4f}{tag}")
print(f"训练数据范围：{lo:.0f} ~ {hi:.0f} 圈")
c1 = df[(df["cell_id"] == "C001") & (df["cycle"].between(798, 802))]
real = float(c1.loc[c1["cycle"] == 800, "soh"].iloc[0])
print(f"C001 在 cycle=800 的真实 soh = {real:.4f}，池化直线给的是 {k * 800 + b:.4f}")
print(f"差了 {(k * 800 + b) - real:.4f}（{((k * 800 + b) - real) * 100:.2f} 个百分点）"
f"—— 这就是「平均」的代价。")期望输出：
text
cycle = 100 → 预测 soh = 0.9823
cycle = 300 → 预测 soh = 0.9530
cycle = 500 → 预测 soh = 0.9238
cycle = 700 → 预测 soh = 0.8946
cycle = 900 → 预测 soh = 0.8653
cycle = 1100 → 预测 soh = 0.8361
cycle = 1300 → 预测 soh = 0.8068
cycle = 1500 → 预测 soh = 0.7776 ← 外推，无数据支持
训练数据范围：50 ~ 1440 圈
C001 在 cycle=800 的真实 soh = 0.8183，池化直线给的是 0.8799
差了 0.0616（6.16 个百分点）—— 这就是「平均」的代价。★ 第 2 问：只有 1500 是外推。注意 100 不是外推 —— 数据从 50 圈开始。
这条"边界"很容易记错：
· 100 > 50 → 在范围内 ✅ 有数据
· 1500 > 1440 → 超出 ❌ 外推
↓
判断外推要用【数据的最小值/最大值】，不是"看起来大不大"★ 第 3 问的关键：
池化直线：0.8799 （"在 cycle=800 时，所有设备平均 0.8799"）
C001 实际：0.8183 （"C001 在它自己的 cycle=800 时是 0.8183"）
↓
差 6.16 个百分点
↓
为什么差？因为 C001 是【退化偏快】的那一类
它自己的斜率 -0.00023754，池化斜率 -0.00014620
陡了 62%★ 6.16 个百分点是什么概念：
退役线 0.80
C001 在 800 圈时已经 0.8183（离退役线只剩 1.83 个百分点）
而池化直线认为它还有 0.8799 − 0.80 = 7.99 个百分点
↓
"还剩多少余量"这个判断，被高估了 4.4 倍⚠️ 这正是"用平均值做个体决策"最典型的事故形态： 不是数字错，是"余量"这个量的尺度感全错了。
练习 2：五支设备各自拟合，看极差
挑 C001、C002、C010、C030、C060 五支设备：
- 每支用
np.polyfit拟合一条直线，反解soh = 0.80对应的cycle； - 打印五支的 EOL 和极差；
- 把极差和池化直线的答案
1347放在一起，用一句话说明"为什么池化直线不能回答个体问题"。
参考答案
python
import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.linear_model import LinearRegression
df = pd.read_csv("data/battery/soh_features.csv")
y = df["soh"]
pooled = LinearRegression().fit(df[["cycle"]], y)
pooled_eol = (0.80 - float(pooled.intercept_)) / float(pooled.coef_[0])
eols = []
for cid in ["C001", "C002", "C010", "C030", "C060"]:
g = df[df["cell_id"] == cid]
kk, bb = np.polyfit(g["cycle"].to_numpy(float), g["soh"].to_numpy(float), 1)
e = (0.80 - bb) / kk
eols.append(e)
print(f"{cid}：自己的直线 soh ≈ {kk:.8f}·cycle + {bb:.4f} → 反解 EOL = {e:.0f} 圈"
f"（实际末次记录 {g['cycle'].max():.0f} 圈）")
print(f"五支的 EOL：{' / '.join(f'{e:.0f}' for e in eols)}")
print(f"极差 = {max(eols) - min(eols):.0f} 圈")
print(f"池化直线给所有人同一个答案：{pooled_eol:.0f} 圈")
print(f"对照末次记录分布：{df.groupby('cell_id')['cycle'].max().min():.0f} ~ "
f"{df.groupby('cell_id')['cycle'].max().max():.0f} 圈")期望输出：
text
C001：自己的直线 soh ≈ -0.00023754·cycle + 1.0100 → 反解 EOL = 884 圈（实际末次记录 812 圈）
C002：自己的直线 soh ≈ -0.00015444·cycle + 1.0189 → 反解 EOL = 1418 圈（实际末次记录 1292 圈）
C010：自己的直线 soh ≈ -0.00014373·cycle + 1.0118 → 反解 EOL = 1473 圈（实际末次记录 1374 圈）
C030：自己的直线 soh ≈ -0.00016281·cycle + 0.9874 → 反解 EOL = 1151 圈（实际末次记录 1130 圈）
C060：自己的直线 soh ≈ -0.00013263·cycle + 0.9905 → 反解 EOL = 1437 圈（实际末次记录 1412 圈）
五支的 EOL：884 / 1418 / 1473 / 1151 / 1437
极差 = 589 圈
池化直线给所有人同一个答案：1347 圈
对照末次记录分布：752 ~ 1440 圈★ 第 3 问的答案：
五支设备的反解退役点从 884 圈到 1473 圈，极差 589 圈。 池化直线只给一个数字（1347 圈）， 它落在这五个数里偏高的位置 —— 对 C001（884）说晚了 463 圈，对 C010（1473）又说早了 126 圈。 一个数字不可能同时答对分布里的每一个成员， 所以池化直线只能回答"平均"。
★ 顺便注意"自己的 EOL"和"实际末次记录"的差别：
C001：自己的直线反解 884 圈，实际末次记录 812 圈 → 差了 72 圈
C010：自己的直线反解 1473 圈，实际末次记录 1374 圈 → 差了 99 圈为什么每条"自己的直线"反解出来的数都比实际末次记录大：
① 数据在 soh ≈ 0.80~0.81 附近就【停止采样】了
最后几圈的数据不包含"真正掉到 0.80"的那一段
② 直线要从 0.81 继续外推一小段才能到 0.80
↓
所以"反解出的 EOL"总是比"实际末次记录"再往后一点
↓
它是一次【很小的外推】—— 小到可以接受，但不等于 0★ 这条观察在真实项目里很重要：
"反解出来的退役点"永远包含一点外推。 数据停止的地方离你要预测的地方有多远，决定了这一点外推值不值得信任。
练习 3：把一支设备画出来（散点 + 自己的线 + 池化线 + 退役线）
选 C012：
- 画它的散点、它自己的拟合直线、池化直线、
soh = 0.80的退役线； - 用
save_fig存到outputs/ex04-07-c012-line.png； - 打印三句话：它自己的反解退役点、池化直线说的退役点、它的末次记录。
要求：图上中文正常显示，标题写成结论而不是变量名。
参考答案
python
import os
import sys
import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.linear_model import LinearRegression
sys.path.insert(0, ".") # 当前目录就是 code/
os.environ.setdefault("MPLCONFIGDIR", "/tmp/ex03-work/.mplconfig")
import matplotlib.pyplot as plt
from common.plots import PALETTE, save_fig, setup_style
df = pd.read_csv("data/battery/soh_features.csv")
y = df["soh"]
EOL = 0.80
pooled = LinearRegression().fit(df[["cycle"]], y)
k, b = float(pooled.coef_[0]), float(pooled.intercept_)
pooled_eol = (EOL - b) / k
font = setup_style()
print(f"中文字体：{font}")
cid = "C012"
g = df[df["cell_id"] == cid]
kk, bb = np.polyfit(g["cycle"].to_numpy(float), g["soh"].to_numpy(float), 1)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8.6, 5.0))
ax.scatter(g["cycle"], g["soh"], s=7, alpha=0.5, color=PALETTE[0], label=f"{cid} 的每一行")
xs = np.linspace(0, 1500, 100)
ax.plot(xs, k * xs + b, color="black", lw=2.2,
label=f"池化直线（全体共用，反解 {pooled_eol:.0f} 圈）")
ax.plot(xs, kk * xs + bb, color=PALETTE[3], lw=1.9,
label=f"{cid} 自己的直线（反解 {(EOL - bb) / kk:.0f} 圈）")
ax.axhline(EOL, color=PALETTE[2], ls="--", lw=1.5, label=f"退役线 soh = {EOL}")
ax.axvline(float(g["cycle"].max()), color=PALETTE[1], ls=":", lw=1.5,
label=f"{cid} 末次记录 {g['cycle'].max():.0f} 圈")
ax.set_xlabel("循环次数 cycle")
ax.set_ylabel("健康度 soh")
ax.set_title("一支设备自己的轨迹 vs 全体共用的那条直线")
ax.legend(loc="lower left", fontsize=9)
ax.set_ylim(0.75, 1.03)
save_fig(fig, os.path.join("outputs", "ex04-07-c012-line.png"))
print(f"{cid}：自己的直线反解 {(EOL - bb) / kk:.0f} 圈，池化直线说 {pooled_eol:.0f} 圈，"
f"实际末次记录 {g['cycle'].max():.0f} 圈")期望输出：
text
中文字体：PingFang SC
[plots] 图已保存: .../outputs/ex04-07-c012-line.png
C012：自己的直线反解 905 圈，池化直线说 1347 圈，实际末次记录 828 圈字体名会因操作系统而不同（macOS 上常见
PingFang SC， Linux 上常见Noto Sans CJK SC）。输出里"中文字体"不是None就说明设上了。
★ 图上能一眼看出的三件事：
① C012 的散点明显比池化黑线【陡】
② 它自己的红线在 905 圈穿过 0.80，黑线要到 1347 圈
③ 它的末次记录（828 圈）比自己的反解点（905 圈）还早 77 圈
→ 又一次"反解包含一点外推"（练习 2 的结论）★ 一个画图上的取舍
如果只画池化黑线：
图很干净，看起来"模型很好"
↓
但它把 60 支设备的真实差异全藏起来了
↓
画上个体轨迹之后，读者才知道那条黑线是"平均"画图的目的不是"让模型好看"，是"让读者看见模型看不见的东西"。
★ 一个可复用的模板（第 24~25 章还会用）
python
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8.6, 5.0))
ax.scatter(x_data, y_data, s=6, alpha=0.4, color=PALETTE[0], label="原始数据")
ax.plot(xs, y_model, color="black", lw=2.2, label="模型")
ax.axhline(threshold, color=PALETTE[2], ls="--", label=f"阈值 {threshold}")
ax.set_xlabel("...")
ax.set_ylabel("...")
ax.set_title("结论式的标题")
ax.legend(fontsize=9)
save_fig(fig, os.path.join(OUT, "xxx.png"))每张图都回答一个问题，标题就是那个问题的答案。
面向工程实践：把"平均"和"个体"分清楚
这一章的技术含量不高（就一个 predict），但它是全书最容易被误用的一章。
① "平均"是一个合法的答案，前提是你问的是平均问题
| 业务问题 | 池化直线够用吗 | 该用什么 |
|---|---|---|
| 这批设备的整体备件预算是多少？ | ✅ 够 | 池化直线 / 直接算总量 |
| 什么圈数开始要加大巡检频次？ | ✅ 够（看平均趋势） | 池化直线 + 分位带 |
| 这 3 支设备下周要不要换？ | ❌ 不够 | 每支自己的模型 / 个体特征 |
| 有没有哪支设备明显异常？ | ⚠️ 反向用 | 偏离池化线的个体才值得看 |
★ 最后一行是一个很好的用法：
池化直线 = "正常退化的模板"
↓
某支设备【离这条线特别远】→ 值得单独调查
↓
它不回答"什么时候退役"，但它能回答"谁不太对劲"② 一套完整的"个体预测"需要什么
横截面回归（本章）：
特征：cycle
模型：1 条线
回答：平均
个体预测（本书后面 + 真实项目）：
① 要有【区分个体】的特征
—— 开头几圈的退化速率、内阻上升速度……（第 13 章多特征）
② 要按设备划分来评估（第 09~12 章）
—— 否则你评估的是"对见过的设备准不准"
③ 要报不确定度（第 24~25 章）
—— "905 ± 80 圈" 比 "905 圈" 有用得多★ 第 ③ 条最容易被忽略，也最值钱：
"1347 圈" → 一个承诺
"1117 圈（752~1440）" → 一个事实
↓
给决策者的是后者的形态时，他才能自己决定"要不要按 752 准备"③ 一个可操作的输出模板
text
对 60 支设备的退役点估计：
数据直接给出的（无模型假设）：
中位 1117 圈，范围 752 ~ 1440 圈
池化直线给出的（有线性假设）：
1347 圈 —— 落在分布的偏高端，对 80% 的设备偏乐观
建议：
① 做总量规划时用 1347（它是"平均"）
② 做个体维护排程时不要用它，必须先拿到个体特征
③ 想知道"某支还能撑多久"，需要第 13 章之后的多特征模型★ 这份输出的关键是"两行数字"：
一行给"平均问题"，一行给"个体事实"
↓
把它们分开写，读者就知道该用哪个
↓
把它们混成一句话，就会有人拿 1347 去安排某一支设备的更换④ 这一章的知识，一句话
直线没有错，错的是把"平均"当成"个体"。 而纠正它不需要更好的模型，只需要你多打一行末次记录的分布。
下一章我们把这一章用到的 MAE、RMSE、R² 系统讲一遍 —— 包括那个最容易被误解的数字：负的 R²。